yaw nolursunuz biri bana matematikten üslü sayıları bulsun yaaa
- Konbuyu başlatan yelis
- Başlangıç tarihi
iSpiK
Kadim Dost
ee buldum sonra nolcak 
naapmamı istiosun
naapmamı istiosun
iSpiK
Kadim Dost
yok olm benımde yarın mat sınawı warya calısıodum sımdı ondan
iSpiK
Kadim Dost
korkuttun len kızı kactı bak :C
BİRİNCİ BÖLÜM
ÜSLÜ İFADELER
1.1. Üslü İfade
A bir reel (gerçel) sayı ve n pozitif tam sayı olsun.
a.a.a....a = an
n tane
olacak şekilde n tane a’nın çarpımı olan an’ye üslü ifade denir.
Örnek 1.1.1: a) 3.3.3.3 = 34
4 tane
b)
Uyarı 1.1.1: a bir reel sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere;
a + a + a + ... + a = n.a
n tane
olduğu için, an ile n.a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Yani,
an n.a’dır.
Örnek 1.1.2: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5.2 = 10 dur.
5 tane
2.2.2.2.2 = 25 = 32
5 tane
Tanım 1.1.1: 1. a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere,
a0 = 1 dir.
2. 00 ifadesi tanımsızdır.
3. 1n = 1’dir. n IR
Örnek 1.1.3: a) 80 = 1
b)
c) 115 = 1
Tanım 1.1.2: Bir üslü ifadenin üssü, üslerin çarpımıdır.
dır.
Örnek 1.1.4: dır.
Uyarı 1.1.2: 1) ifadesi bilinemez. Çünkü n sayısının; m’nin üssü mü
yoksa am’nin üssü mü olduğu belli değildir.
2)
üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir.
Tanım 1.1.3:
Örnek 1.1.5: 2x = y
olduğuna göre, 8x’in y türünden eşitini bulalım.
Çözüm: 8x = (23)x = (2x)3 = y3 tür.
Örnek 1.1.6: 3a = b
olduğuna göre, 5.(81)a nın b türünden eşitini bulalım.
Çözüm : 5.(81)a = 5.(34)a = 5.(3a)4 = 5.b4 tür.
Tanım 1.1.4: a bir reel sayı olmak üzere,
dir.
benzer şekilde a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere
dir.
Örnek 1.1.7: 5-1 + 5-2
İşleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: dir.
Tanım 1.1.5: Pozitif sayıların bütün kuvvetlerini pozitiftir.
a > 0 an > 0 dır.
Örnek 1.1.8: a) 4-2 = 16 > 0’dır.
b) 4-2 =
Tanım 1.1.6: Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.
a > 0 ve n çift sayı ise (-a)n = an < 0’dır.
Örnek 1.1.9: a) (-4)2 = 42 = 16 > 0 dır.
b) (-4)-2 = 4-2 = dır.
Tanım 1.1.7: Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.
A > 0 ve n tek sayı ise (-a)n = -an < 0’dır.
Örnek 1.1.10: a) (-4)3 = -43 = -64 < 0’dır.
b) (-4)-3 = -4-3 = dır.
Uyarı 1.1.4: a > 0 ve n çift sayı ise, (-a)n -an dir.
Örnek 1.1.11. (-2)4 -24 tür. Çünkü,
(-2)4 = 24 = 16 ve -24 = -16 dır.
Örnek 1.1.12: (-3)3 + (-52) + (-4)2
İşleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: (-3)3 + (-52) + (42) = -33 + (-52) + 42
= -27 – 25 + 16
= 36
Tanım 1.1.8: Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin toplamı,
katsayıların toplamı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir.
a . xn + b.xn = (a+b)n dir.
Örnek 1.1.13: 8 .103 + 4.103 = (8+4) . 103 = 12.103
Uyarı 1.1.5: a5 + a2 toplamı yapılamaz. Çünkü, bu iki sayının tabanları
aynıdır. Fakat üsleri aynı değildir.
İki üslü sayının toplamının yapılabilmesi için, bu sayıların
tabanları ve üsleri aynı olmalıdır.
Tanım 1.1.9: Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin farkı, katsayılar
farkı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir.
a.xn – b.xn (a-b)xn
Örnek 1.1.14: 5 . 104 – 2 . 104 = (5-2)104 = 3 . 104
Tanım 1.1.10: Tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak
için; üsler toplamı, ortak tabanın üssü olarak yazılır.
am . an = am+n
Örnek 1.1.15: 103 . 105 = 103+5 = 108
Tanım 1.1.11: Üsleri eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için
tabanlar çarpımı ortak üssün tabanı olarak yazılır.
an . bn = (a.b)n
Örnek 1.1.16: 28 . 58 = (2.5)8 = 108
Örnek 1.1.17: 3x = p
Olduğuna göre, 9x+1 ifadesinin p türünden eşitini bulalım.
Çözüm: 9x+1 = 9x . 91
= (32)x . 9
= (3x)2 . 9
= p2 . 9
= 9 . p2
(Tabanları aynı olan ifadelerin üsleri toplanıyordu. Burada
bu işlemin tersi yapılıyor. )
Tanım 1.1.12: Tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak
için; paydaki sayının üssünden paydadaki sayının üssü çıkarılır, ortak tabanın üssü olarak yazılır.
Örnek 1.1.18:
Tanım 1.1.13: Üsleri eşit olan ifadelerin bölümünü bulmak için; payın
tabanı paydanın tabanına bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır.
Örnek 1.1.19:
Örnek 1.1.20:
İşleminin sonucu a ve b türünden bulalım.
Çözüm :
=
=
=
=
=
1.2. ÜSLÜ DENKLEMLER
Tanım 1.1.2: Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.
a 0, a -1, a 1 olmak üzere
am = an m = n dir.
Örnek 1.2.1:
Eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm:
5x+1 . 5 (2-x) =
5x+1 . 5 –2+x) =
5 x+1 – 2 + x = 5 3x-9
5 2x-1 = 5 3x-9 dur.
5 2x-1 = 5 3x-9 2x – 1 = 3x – 9
2x – 3x = -9 + 1
-x = -8
x = 8
Tanım 1.2.2: Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları
eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit ya da tabanların biri diğerinin ters işaretine eşittir.
n tek sayı ve an = bn a = b dir.
n çift sayı ve an = bn a = b veya a = -b’dir.
Örnek 1.2.2: x3 = 53 x = 5 tir.
Örnek 1.2.3: (x + 7)3 = (3x - 11)3
Eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm: 3 tek sayı olduğu için, tabanlar eşittir. Buna göre,
(x + 7)3 = (3x - 11)3 x + 7 = 3x – 11
7 + 11 = 3x – x
18 = 2x
x = 9 bulunur.
Tanım 1.2.3: xn = 1 denkleminin çözümünde 3 durum vardır.
X = 1 .................................. 1. Durum
Veya
xn = 1 N = 0 ve x 0 ..................... 2. Durum
Veya
X = -1 1 ve n çift sayı ......... 3. Durum
Örnek 1.2.4: a) 18 = 1 dir. Çünkü 1’in tüm reel kuvvetleri 1’dir.
b) 50 = 1’dır. Çünkü –1’in tüm çift kuvvetleri 1’dir.
c) (-1)6 = 1’dir. Çünkü –1’in tüm çift kuvvetleri 1’dir.
Örnek 1.2.5: (x+3)x-2 = 1
Eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm: (x+3)x-2 = 1 x + 3 = 1 ..........................1. Durum
veya
x – 2 = 0 ve x + 3 0 ................ 2. Durum
veya
x + 3 = -1 ve x – 2 çift sayıdır ...... 3. Durum
1. Durum : x + 3 = 1 x = 1 – 3 x = -2
2. Durum : x – 2 = 0 x = 2
Bu kök üssü sıfır yapmadığı için, alınır.
3. Durum : x + 3 = -1 x = -4
Bu kök yazıldığına üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır.
O halde denklemi sağlayan x değeri : -4, -2, 2’dir.
1.3. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1.3.1:
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm :
Örnek 1.3.2:
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Örnek 1.3.3:
işleminin sonucunu bulalım.
Örnek 1.3.4:
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Örnek 1.3.5:
3a = 4 olduğuna göre,
3a + 1 – 2 . 9a nın değeri kaçtır?
Çözüm: 3a = 4 olduğuna göre
3a + 1 – 2.9a = 3a . 31 – 2 . (32)a
= 3a . 3 – 2 . (3a)2
= 4 . 3 – 2 . 42
= 12 – 2 . 16
= 12 – 32
= -20 olur.
Örnek 1.3.6:
a, b tam sayı ve a < 5 olmak üzere,
olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm :
a, b tam sayı ve a < 5 olduğu için
a = 3 ve -b-1 = 3 tür. Buradan,
- b = 3 + 1
b = 4 tür.
O halde, a + b = 3-4 = 1 olur.
Örnek 1.3.7:
eşitliğini sağlayan x değeri kaç tanedir?
Çözüm : eşitliğinin sağlandığı üç durum olabilir.
1. Durum:
x + 2 = 1
x = 1 – 2
x = -1
2. Durum :
x2 – 4 = 0 ve x + 2 0 dır.
x2 – 4 = 0 x2 = 4
x = 2 veya x = -2 dir.
Ayrıca, x + 2 0 x -2 dir.
(x = 2 veya x = -2) ve
(x -2) x = 2 dir.
(Yani, üssü sıfır değerlerden, tabanı sıfır yapmayanlar alınır.)
3. Durum :
x + 2 = -1 ve
x2 – 4 çift sayıdır.
x + 2 = - 1 x = -3
Bu değer için x2 – 4 ün çift sayı olup olmadığına bakalım.
(-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5
5 tek sayıdır. O halde, buradan eşitliği sağlayacak değer bulamaz.
Demek ki, denklemi sağlayan değer 2 tanedir.
Bu değer: x = -1 ve x = 2 dir.
İKİNCİ BÖLÜM
KÖKLÜ İFADELER
2.1. KÖKLÜ İFADE
n, 1’den büyük bir doğal sayı olmak üzere, xn = a eşitliğini
sağlayan x sayısına a nın n. Dereceden kökü denir.
a nın n. Dereceden kökü şeklinde gösterilir.
: karekök a
: küpkök a
: dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur.
Uyarı 2.1.1: Bazı köklü sayılar reel sayı değildir.
ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için :
a 0 veya n tek sayı olmalıdır.
Örnek 2.1.1: sayıları reeldir.
sayıları reeldir.
sayıları reeldir.
sayıları reel değildir.
Sonuç: n pozitif çift sayı ve a negatif reel sayı ise ifadesi reel
sayı değildir.
Örnek 2.1.2: köklü ifadesinin reel sayı belirtmesi için, x hangi
şartı sağlamalıdır?
Çözüm: R 8 – x 0
8 x
x 8
Tanım 2.1.3: dir.
Örnek 2.1.3: 1)
2)
Tanım 2.1.2: a 0 ise dır.
Örnek 2.1.4: 1)
2)
Tanım 2.1.3: m tek sayı ile ise dır.
Örnek 2.1.5: 1)
2)
Tanım 2.1.4: m çift sayı ise dır.
Örnek 2.1.6: 1)
2)
Sonuç : dir.
dır.
Örnek 2.1.7:
Olduğuna göre, işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: =
=
= 3 + 2 + 2 – (-4)
= 7 + 4
= 11
Tanım 2.1.5: k bir doğal sayı ve a > 0 olmak üzere
dir.
Örnek 2.1.8:
Tanım 2.1.6: k bir doğal sayı ve a > 0 olmak üzere dır.
Örnek 2.1.9:
Tanım 2.1.7: t > 0 olmak üzere, dır.
Örnek 2.1.10:
Tanım 2.1.9: Toplama, çıkarma
Köklerinin dereceleri ve içi eşit olan ifadeler, toplanırken ya
da çıkarılırken; kat sayılar toplanır ya da çıkarılır, sonuç
köklü ifadeye sayı olarak yazılır.
dir.
Örnek 2.1.12: 1)
2)
Tanım 2.1.10: Çarpma
Köklerinin dereceleri aynı olan sayılar çarpılırken, aynı kök içinde çarpma yapılır.
dir. (n çift sayı ise x, y R+ olmalıdır.)
köklerinin dereceleri aynı olmayan sayılar çarpılmadan önce, köklerinin dereceleri eşitlenir. Sonra çarpma yapılır.
Örnek 2.1.13: 1)
2)
= 10 . 6
= 60
Tanım 2.1.11: Bölme
Köklerinin dereceleri aynı olan sayılar bölünürken; kök
aynen kalır, sayıların bölümü kökün içine yazılır.
, y 0 (n çift sayı ise x, y R+ olmalıdır)
köklerinin dereceleri aynı olmayan sayılar bölünmeden
önce, köklerinin dereceleri eşitlenir.
Örnek 2.1.14: 1)
2)
Tanım 2.1.12: Paydayı Rasyonel Yapma
Paydasında köklü terim bulunan bir kesrin paydasını kökten
kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir.
Tanım 2.1.13: dir.
Örnek 2.1.15:
Tanım 2.1.14: dir.
Uyarı 2.1.2: dir.
Örnek 2.1.15:
2.2. İÇ İÇE KÖKLER
Tanım 2.2.1:
Örnek 2.2.1: 1)
2)
Tanım 2.2.2:
Örnek 2.2.2: 1)
2)
Tanım 2.2.3:
Örnek 2.2.3: 1)
2)
Tanım 2.2.4: a ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı olsun
ardışık iki sayının büyüğü
ardışık iki sayının küçüğü
Örnek 2.2.4: 6 = 3 . 2 olduğu için,
dir.
Tanım 2.2.5: x = a + b, y = a.b ve a>b ise,
dir.
Örnek 2.2.5: 1)
2)
Tanım 2.2.6: dir.
1) < <
2) >
Örnek 2.2.6: Sayıların köklerinin dereceleri farklı olduğu için, köklerin derecelerini eşitleyelim
Çözüm:
8 < 9 olduğuna göre < dır.
Demek ki, < tür.
2.3. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 2.3.1:
Toplamının reel sayı belirtmesi için x hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm: toplamının bir reel sayı belirtmesi için,
IR ve IR olmalıdır.
IR 3 – x 0
3 x
x 3 ........(1)
IR x + 4 0
x -4 .....(2)
(1) ve (2) sonuçları birlikte göz önüne alınırsa,
x 3 ve x -4 - 4 x 3 tür.
Buna göre; x,[-4,3] aralığında olmalıdır.
Örnek 2.3.2: işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
= 6
Örnek 2.3.3: işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm :
= 3
Örnek 2.3.4:
olduğuna göre, ün eşiti nedir?
Çözüm :
= a . b3
Örnek 2.3.5: Hangisinin yaklaşık değerleri bilinirse sayısının yaklaşık değeri hesaplanabilir?
Çözüm: 288 2
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
olduğuna göre, in yaklaşık değeri hesaplanabilmesi için nin yaklaşık değerinin bilinmesi gerekir.
Örnek 2.3.6: olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm :
Örnek 2.3.7: 2a = 3
Olduğuna göre ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm :
Örnek 2.3.8: a < b < 0 olduğuna göre,
ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: n çift sayı ise
n tek sayı ise tir.
a < b a – b ve a < b < 0 olduğuna göre,
= 0
Örnek 2.3.9: olduğuna göre; x, y, z arasındaki sıralama nedir?
Çözüm :
729 > 216 > 16 olduğu için, x > z > y dir.
ÜSLÜ İFADELER
1.1. Üslü İfade
A bir reel (gerçel) sayı ve n pozitif tam sayı olsun.
a.a.a....a = an
n tane
olacak şekilde n tane a’nın çarpımı olan an’ye üslü ifade denir.
Örnek 1.1.1: a) 3.3.3.3 = 34
4 tane
b)
Uyarı 1.1.1: a bir reel sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere;
a + a + a + ... + a = n.a
n tane
olduğu için, an ile n.a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Yani,
an n.a’dır.
Örnek 1.1.2: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5.2 = 10 dur.
5 tane
2.2.2.2.2 = 25 = 32
5 tane
Tanım 1.1.1: 1. a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere,
a0 = 1 dir.
2. 00 ifadesi tanımsızdır.
3. 1n = 1’dir. n IR
Örnek 1.1.3: a) 80 = 1
b)
c) 115 = 1
Tanım 1.1.2: Bir üslü ifadenin üssü, üslerin çarpımıdır.
dır.
Örnek 1.1.4: dır.
Uyarı 1.1.2: 1) ifadesi bilinemez. Çünkü n sayısının; m’nin üssü mü
yoksa am’nin üssü mü olduğu belli değildir.
2)
üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir.
Tanım 1.1.3:
Örnek 1.1.5: 2x = y
olduğuna göre, 8x’in y türünden eşitini bulalım.
Çözüm: 8x = (23)x = (2x)3 = y3 tür.
Örnek 1.1.6: 3a = b
olduğuna göre, 5.(81)a nın b türünden eşitini bulalım.
Çözüm : 5.(81)a = 5.(34)a = 5.(3a)4 = 5.b4 tür.
Tanım 1.1.4: a bir reel sayı olmak üzere,
dir.
benzer şekilde a ve b sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere
dir.
Örnek 1.1.7: 5-1 + 5-2
İşleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: dir.
Tanım 1.1.5: Pozitif sayıların bütün kuvvetlerini pozitiftir.
a > 0 an > 0 dır.
Örnek 1.1.8: a) 4-2 = 16 > 0’dır.
b) 4-2 =
Tanım 1.1.6: Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.
a > 0 ve n çift sayı ise (-a)n = an < 0’dır.
Örnek 1.1.9: a) (-4)2 = 42 = 16 > 0 dır.
b) (-4)-2 = 4-2 = dır.
Tanım 1.1.7: Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.
A > 0 ve n tek sayı ise (-a)n = -an < 0’dır.
Örnek 1.1.10: a) (-4)3 = -43 = -64 < 0’dır.
b) (-4)-3 = -4-3 = dır.
Uyarı 1.1.4: a > 0 ve n çift sayı ise, (-a)n -an dir.
Örnek 1.1.11. (-2)4 -24 tür. Çünkü,
(-2)4 = 24 = 16 ve -24 = -16 dır.
Örnek 1.1.12: (-3)3 + (-52) + (-4)2
İşleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: (-3)3 + (-52) + (42) = -33 + (-52) + 42
= -27 – 25 + 16
= 36
Tanım 1.1.8: Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin toplamı,
katsayıların toplamı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir.
a . xn + b.xn = (a+b)n dir.
Örnek 1.1.13: 8 .103 + 4.103 = (8+4) . 103 = 12.103
Uyarı 1.1.5: a5 + a2 toplamı yapılamaz. Çünkü, bu iki sayının tabanları
aynıdır. Fakat üsleri aynı değildir.
İki üslü sayının toplamının yapılabilmesi için, bu sayıların
tabanları ve üsleri aynı olmalıdır.
Tanım 1.1.9: Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin farkı, katsayılar
farkı ile üslü ifadenin çarpımına eşittir.
a.xn – b.xn (a-b)xn
Örnek 1.1.14: 5 . 104 – 2 . 104 = (5-2)104 = 3 . 104
Tanım 1.1.10: Tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak
için; üsler toplamı, ortak tabanın üssü olarak yazılır.
am . an = am+n
Örnek 1.1.15: 103 . 105 = 103+5 = 108
Tanım 1.1.11: Üsleri eşit olan üslü ifadelerin çarpımını bulmak için
tabanlar çarpımı ortak üssün tabanı olarak yazılır.
an . bn = (a.b)n
Örnek 1.1.16: 28 . 58 = (2.5)8 = 108
Örnek 1.1.17: 3x = p
Olduğuna göre, 9x+1 ifadesinin p türünden eşitini bulalım.
Çözüm: 9x+1 = 9x . 91
= (32)x . 9
= (3x)2 . 9
= p2 . 9
= 9 . p2
(Tabanları aynı olan ifadelerin üsleri toplanıyordu. Burada
bu işlemin tersi yapılıyor. )
Tanım 1.1.12: Tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak
için; paydaki sayının üssünden paydadaki sayının üssü çıkarılır, ortak tabanın üssü olarak yazılır.
Örnek 1.1.18:
Tanım 1.1.13: Üsleri eşit olan ifadelerin bölümünü bulmak için; payın
tabanı paydanın tabanına bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır.
Örnek 1.1.19:
Örnek 1.1.20:
İşleminin sonucu a ve b türünden bulalım.
Çözüm :
=
=
=
=
=
1.2. ÜSLÜ DENKLEMLER
Tanım 1.1.2: Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.
a 0, a -1, a 1 olmak üzere
am = an m = n dir.
Örnek 1.2.1:
Eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm:
5x+1 . 5 (2-x) =
5x+1 . 5 –2+x) =
5 x+1 – 2 + x = 5 3x-9
5 2x-1 = 5 3x-9 dur.
5 2x-1 = 5 3x-9 2x – 1 = 3x – 9
2x – 3x = -9 + 1
-x = -8
x = 8
Tanım 1.2.2: Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları
eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit ya da tabanların biri diğerinin ters işaretine eşittir.
n tek sayı ve an = bn a = b dir.
n çift sayı ve an = bn a = b veya a = -b’dir.
Örnek 1.2.2: x3 = 53 x = 5 tir.
Örnek 1.2.3: (x + 7)3 = (3x - 11)3
Eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm: 3 tek sayı olduğu için, tabanlar eşittir. Buna göre,
(x + 7)3 = (3x - 11)3 x + 7 = 3x – 11
7 + 11 = 3x – x
18 = 2x
x = 9 bulunur.
Tanım 1.2.3: xn = 1 denkleminin çözümünde 3 durum vardır.
X = 1 .................................. 1. Durum
Veya
xn = 1 N = 0 ve x 0 ..................... 2. Durum
Veya
X = -1 1 ve n çift sayı ......... 3. Durum
Örnek 1.2.4: a) 18 = 1 dir. Çünkü 1’in tüm reel kuvvetleri 1’dir.
b) 50 = 1’dır. Çünkü –1’in tüm çift kuvvetleri 1’dir.
c) (-1)6 = 1’dir. Çünkü –1’in tüm çift kuvvetleri 1’dir.
Örnek 1.2.5: (x+3)x-2 = 1
Eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.
Çözüm: (x+3)x-2 = 1 x + 3 = 1 ..........................1. Durum
veya
x – 2 = 0 ve x + 3 0 ................ 2. Durum
veya
x + 3 = -1 ve x – 2 çift sayıdır ...... 3. Durum
1. Durum : x + 3 = 1 x = 1 – 3 x = -2
2. Durum : x – 2 = 0 x = 2
Bu kök üssü sıfır yapmadığı için, alınır.
3. Durum : x + 3 = -1 x = -4
Bu kök yazıldığına üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır.
O halde denklemi sağlayan x değeri : -4, -2, 2’dir.
1.3. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 1.3.1:
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm :
Örnek 1.3.2:
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Örnek 1.3.3:
işleminin sonucunu bulalım.
Örnek 1.3.4:
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Örnek 1.3.5:
3a = 4 olduğuna göre,
3a + 1 – 2 . 9a nın değeri kaçtır?
Çözüm: 3a = 4 olduğuna göre
3a + 1 – 2.9a = 3a . 31 – 2 . (32)a
= 3a . 3 – 2 . (3a)2
= 4 . 3 – 2 . 42
= 12 – 2 . 16
= 12 – 32
= -20 olur.
Örnek 1.3.6:
a, b tam sayı ve a < 5 olmak üzere,
olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm :
a, b tam sayı ve a < 5 olduğu için
a = 3 ve -b-1 = 3 tür. Buradan,
- b = 3 + 1
b = 4 tür.
O halde, a + b = 3-4 = 1 olur.
Örnek 1.3.7:
eşitliğini sağlayan x değeri kaç tanedir?
Çözüm : eşitliğinin sağlandığı üç durum olabilir.
1. Durum:
x + 2 = 1
x = 1 – 2
x = -1
2. Durum :
x2 – 4 = 0 ve x + 2 0 dır.
x2 – 4 = 0 x2 = 4
x = 2 veya x = -2 dir.
Ayrıca, x + 2 0 x -2 dir.
(x = 2 veya x = -2) ve
(x -2) x = 2 dir.
(Yani, üssü sıfır değerlerden, tabanı sıfır yapmayanlar alınır.)
3. Durum :
x + 2 = -1 ve
x2 – 4 çift sayıdır.
x + 2 = - 1 x = -3
Bu değer için x2 – 4 ün çift sayı olup olmadığına bakalım.
(-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5
5 tek sayıdır. O halde, buradan eşitliği sağlayacak değer bulamaz.
Demek ki, denklemi sağlayan değer 2 tanedir.
Bu değer: x = -1 ve x = 2 dir.
İKİNCİ BÖLÜM
KÖKLÜ İFADELER
2.1. KÖKLÜ İFADE
n, 1’den büyük bir doğal sayı olmak üzere, xn = a eşitliğini
sağlayan x sayısına a nın n. Dereceden kökü denir.
a nın n. Dereceden kökü şeklinde gösterilir.
: karekök a
: küpkök a
: dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur.
Uyarı 2.1.1: Bazı köklü sayılar reel sayı değildir.
ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için :
a 0 veya n tek sayı olmalıdır.
Örnek 2.1.1: sayıları reeldir.
sayıları reeldir.
sayıları reeldir.
sayıları reel değildir.
Sonuç: n pozitif çift sayı ve a negatif reel sayı ise ifadesi reel
sayı değildir.
Örnek 2.1.2: köklü ifadesinin reel sayı belirtmesi için, x hangi
şartı sağlamalıdır?
Çözüm: R 8 – x 0
8 x
x 8
Tanım 2.1.3: dir.
Örnek 2.1.3: 1)
2)
Tanım 2.1.2: a 0 ise dır.
Örnek 2.1.4: 1)
2)
Tanım 2.1.3: m tek sayı ile ise dır.
Örnek 2.1.5: 1)
2)
Tanım 2.1.4: m çift sayı ise dır.
Örnek 2.1.6: 1)
2)
Sonuç : dir.
dır.
Örnek 2.1.7:
Olduğuna göre, işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: =
=
= 3 + 2 + 2 – (-4)
= 7 + 4
= 11
Tanım 2.1.5: k bir doğal sayı ve a > 0 olmak üzere
dir.
Örnek 2.1.8:
Tanım 2.1.6: k bir doğal sayı ve a > 0 olmak üzere dır.
Örnek 2.1.9:
Tanım 2.1.7: t > 0 olmak üzere, dır.
Örnek 2.1.10:
Tanım 2.1.9: Toplama, çıkarma
Köklerinin dereceleri ve içi eşit olan ifadeler, toplanırken ya
da çıkarılırken; kat sayılar toplanır ya da çıkarılır, sonuç
köklü ifadeye sayı olarak yazılır.
dir.
Örnek 2.1.12: 1)
2)
Tanım 2.1.10: Çarpma
Köklerinin dereceleri aynı olan sayılar çarpılırken, aynı kök içinde çarpma yapılır.
dir. (n çift sayı ise x, y R+ olmalıdır.)
köklerinin dereceleri aynı olmayan sayılar çarpılmadan önce, köklerinin dereceleri eşitlenir. Sonra çarpma yapılır.
Örnek 2.1.13: 1)
2)
= 10 . 6
= 60
Tanım 2.1.11: Bölme
Köklerinin dereceleri aynı olan sayılar bölünürken; kök
aynen kalır, sayıların bölümü kökün içine yazılır.
, y 0 (n çift sayı ise x, y R+ olmalıdır)
köklerinin dereceleri aynı olmayan sayılar bölünmeden
önce, köklerinin dereceleri eşitlenir.
Örnek 2.1.14: 1)
2)
Tanım 2.1.12: Paydayı Rasyonel Yapma
Paydasında köklü terim bulunan bir kesrin paydasını kökten
kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir.
Tanım 2.1.13: dir.
Örnek 2.1.15:
Tanım 2.1.14: dir.
Uyarı 2.1.2: dir.
Örnek 2.1.15:
2.2. İÇ İÇE KÖKLER
Tanım 2.2.1:
Örnek 2.2.1: 1)
2)
Tanım 2.2.2:
Örnek 2.2.2: 1)
2)
Tanım 2.2.3:
Örnek 2.2.3: 1)
2)
Tanım 2.2.4: a ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı olsun
ardışık iki sayının büyüğü
ardışık iki sayının küçüğü
Örnek 2.2.4: 6 = 3 . 2 olduğu için,
dir.
Tanım 2.2.5: x = a + b, y = a.b ve a>b ise,
dir.
Örnek 2.2.5: 1)
2)
Tanım 2.2.6: dir.
1) < <
2) >
Örnek 2.2.6: Sayıların köklerinin dereceleri farklı olduğu için, köklerin derecelerini eşitleyelim
Çözüm:
8 < 9 olduğuna göre < dır.
Demek ki, < tür.
2.3. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
Örnek 2.3.1:
Toplamının reel sayı belirtmesi için x hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm: toplamının bir reel sayı belirtmesi için,
IR ve IR olmalıdır.
IR 3 – x 0
3 x
x 3 ........(1)
IR x + 4 0
x -4 .....(2)
(1) ve (2) sonuçları birlikte göz önüne alınırsa,
x 3 ve x -4 - 4 x 3 tür.
Buna göre; x,[-4,3] aralığında olmalıdır.
Örnek 2.3.2: işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
= 6
Örnek 2.3.3: işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm :
= 3
Örnek 2.3.4:
olduğuna göre, ün eşiti nedir?
Çözüm :
= a . b3
Örnek 2.3.5: Hangisinin yaklaşık değerleri bilinirse sayısının yaklaşık değeri hesaplanabilir?
Çözüm: 288 2
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
olduğuna göre, in yaklaşık değeri hesaplanabilmesi için nin yaklaşık değerinin bilinmesi gerekir.
Örnek 2.3.6: olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm :
Örnek 2.3.7: 2a = 3
Olduğuna göre ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm :
Örnek 2.3.8: a < b < 0 olduğuna göre,
ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: n çift sayı ise
n tek sayı ise tir.
a < b a – b ve a < b < 0 olduğuna göre,
= 0
Örnek 2.3.9: olduğuna göre; x, y, z arasındaki sıralama nedir?
Çözüm :
729 > 216 > 16 olduğu için, x > z > y dir.