İslamda zamanın belirlenmesinde güneş saatlerinden yaygın olarak yararlanıldığı bilinmekle birlikte, bugün özgün güneş saat örneklerine, cami duvarlarına işlenmiş bulunan saatler dışında, çok ender rastlanmaktadır . Mekanik saatlerin 17.yüzyıldan itibaren yaygınlaşması ile birlikte önemlerini yitiren güneş saatleri dış etkenlerin etkisiyle hızla aşınarak yok olmuşlardır.
Yatay Güneş Saatleri
Konumu nedeniyle korunmuş bulunan bir yatay güneş saatine örnek olarak Topkapı Sarayı'nın 3. avlusunda III. Ahmet Kütüphanesi'nin yanındaki saat verilebilir (Resim 1).
Resim 1: Topkapı Sarayı 3. avlusundaki III. Ahmet kütüphanesinin yanındaki güneş saati
Bir kaidenin üzerindeki saate bakmak için dört basamaklı mermer bir merdivene tırmanmak gerekir. Saatin doğu tarafında bulunan cetvelin altında "Ameli Süleyman Katib-i evvel", yani Hazinenin birinci katibi Süleyman tarafından yapılmıştır, ibaresi görülmektedir. Saatin batı tarafında ise "Vaz-ül basıta fi zaman-ı Ebül-Feth Sultan Mehmet Han ve ceddede Seyyid Abdullah Silahtar Sultan Selim bin Sultan Mustafa Han ebede mülkehu i lâ âhirüd devran; Sene 1208 Şaban" yazılıdır. Bugünkü dile çevrilirse "Bu güneş saati Fatih Sultan Mehmet devrinde yerleştirilmiş ve Sultan Mustafa'nın oğlu Sultan Selim'in, hükmetme zamanları ahirete kadar uzansın, silahtarı Seyyid Abdullah tarafından yenilenmiştir, sene 1794, Şubat/Mart" ifadesi okunur
Bu kayıtlara göre bu güneş saati Fatih Sultan Mehmet döneminde (1453-1481 yıllarında) hazine katibi Süleyman Bey tarafından çizilmiş ve Sultan III. Selim döneminde Silahtar Seyyid Abdullah tarafından Hicri 1208 senesinde restore edilmiştir. Nitekim Topkapı Sarayı arşivinde Hicri 1208 (1794) senesinden kalan bir masraf belgesine göre, adı geçen güneş saatinin tamiri için, o senenin Mart ayında 1000 kuruş (bir altın) harcama yapıldığı görülmektedir .
Şekil 2: Topkapı sarayında III. Ahmet kütüphanesi yanındaki yatay güneş saatinin üzerindeki çizimler.
Saatin kadranı kuzey-güney doğrultusuna yerleştirilmiştir (Şekil 2). Mermerden yapılmış olan saat kadranının ortasında toplanan yağmur sularının akması için bir delik bulunur. Kadranın 65x44 cm2 'lik kısmında 2 adet güneş saati yer alır. Bu saatlerde zaman, güneydeki 5 cm uzunluğundaki kısa dik çubuğun gölgesi ve kuzeydeki oyma işlemeli çubuğa bağlı, kadranın güneyindeki bir noktaya 4l°'lik eğimle gerilmiş, çelik bir telin gölgesinden yararlanılarak belirlenir.
Bu kadranda bulunan iki saatten ilkin kelebek biçiminde olanını ve ekrana dik bir çubukla ölçüm yapılanını inceleyelim. Düzlemsel saatlere kitabede belirtildiği gibi 'basıta' adı verilir. Bu isim güneş saatlerinde 'basit düzlemsel saat' anlamına gelir. Saatin kuzey ve güneyi birer hiperbolik eğriyle sınırlıdır. Bu eğrilerden kuzeyde bulunanı 22 Aralık kış dönencesi Oğlak burcuna ve güneyde bulunanı 21 Haziran yaz dönencesi Yengeç burcuna aittir. İleride gösterileceği gibi düzlemsel saatlerde bir çubuğun gölgesi genelde gün boyunca bir hiperbol çizer. Sadece senede iki kez gündüz ve gecenin eşit olduğu 21 Mart (Koç burcu) ve 23 Eylül'de (Terazi burcu) bu eğri bir doğruya dönüşür. Bu özel günlerde zaman güneş saatinin ortasında batı-doğu yönünde uzanan doğru üzerinde okunur .
Kelebek biçimindeki bu güneş saati ezani saatleri belirlemeye yarar. Tanım gereği ezani saate göre güneş battığında saat 12 ya da 0'dır. Saatin okunabilmesi için gölgenin ekrana aksetmesi gerekir. Güneş doğar ve batarken gölge sonsuz uzun olduğundan sıhhatli bir belirleme ancak güneş doğduktan 1 saat sonra yapılabilir ve bu durum güneş batmadan 1 saat öncesine kadar sürer. Rakamlar kadranın güney batı ucunda 10 ile başlar sırasıyla batı doğrusunu takip ederek 11,12, 1, 2, 3 ve 4 ile ekranın kuzey-batı ucuna erişir. Bu noktadan itibaren rakamlar kuzeydeki kış hiperbolünü (22 Aralık) takip ederek 5'ten 11 'e kadar sıralanarak kadranın kuzey-doğu ucuna erişir. Güneş ezani saat gereği her gün saat 12'de battığından kadranda her gün güneş batmadan l saat önce okunabilecek son rakam 11 'dir.
Dünya dönüş ekseninin eğikliği nedeniyle güneş mevsime bağlı olarak her gün farklı bir saatte doğar. Ancak gece ve gündüzün eşit olduğu 21 Mart ve 23 Eylül'de ezani saate göre güneş saat 12'de doğar ve batar. Buna göre yaz ve kış dönencesinde çubuğun gölgesi kadranda batı-doğu eksenini izler. Güneş doğduktan 1 saat sonra çubuğun gölgesi eksenin batı ucundaki 1 rakamı üzerine düşer. Saat 2 olduğunda gölgenin nereye düşeceği belirlenmek istenirse, 2 rakamının bulunduğu yerden güney-doğu yönüne uzanan doğru izlenir ve bu doğrunun batı-doğu eksenini kestiği nokta belirlenir. Her saat aralığı dört parçaya ayrılmış bulunduğundan aynı şekilde çeyrek saatlere ait noktalar ve aradaki değerler de iç değer biçimle (enterpolasyonla) kolaylıkla belirlenir. Saat 6 olduğunda benzer şekilde 6 rakamından güneydoğu yönüne doğru uzanan doğru izlenirse bu doğrunun batı-doğu ekseni ile kesiştiği noktadan kuzey-güney ekseninin de geçtiği görülür. Bu durumda öğle olmuş ve çubuğun gölgesi yaz ya da kış dönencesinde en kısa boya erişmiştir. Öğleden sonra çubuğun gölgesi simetrik olarak eksenin doğu yarısını izler ve güneş batmadan 1 saat önce gölge, saatin kuzey-doğu ucundaki 11 rakamının belirlediği ve saatin doğu sınırını oluşturan doğruyla kesiştiği noktaya ulaşır.
Yazın 21 Haziranda çubuğun gölgesi güney hiperbolünü izler. Güneş 9'da doğar ve 1 saat sonra gölge batıdaki 10 rakamı üzerine düşer. Gölgenin en kısa olduğu öğle saatinde saat 4.30 ve batmadan önce saat yine 11 'dir.
Kışın 22 Aralık'ta çubuğun gölgesi kuzey hiperbolünü izler. Bu tarihte güneş 3'te doğduktan 1 saat sonra 4, gölgenin en kısa olduğu öğle saatinde saat 7.30 ve güneş batmadan 1 saat önce saat yine 11 'dir.
21 Mart ilkbahar ve 23 Eylül sonbahar dönence doğrusu, 21 Haziran yaz ve 22 Aralık kış hiperbolleri dışındaki bir noktaya ait saat belirlenirken aynı ezani saatleri birleştiren doğrultuların batı-doğu ekseninin üzerinde ve altında, 12 eşit parçaya bölündüğünü göz önünde bulundurmak gerekir. Buna göre çubuğun gölgesi belirli bir saat için bir sene boyunca saat doğrusunda 12x4=48 taksimatlık devrini tamamlar. Gölge her bir taksimat aralığında yaklaşık olarak 365/48= 7.6 gün ≈ 1 hafta kalır. Eğer daha doğru bir belirleme yapmak istenirse
21 Mart ile 21 Haziran tarihleri arasında 92 gün,
21 Haziran ile 23 Eylül tarihleri arasında 94 gün,
23 Eylül ile 22 Aralık tarihleri arasında 90 gün,
22 Aralık ile 21 Mart tarihleri arasında 89 (88) gün,
bulunduğunu değerlendirmek gerekir
Örnek olarak saat kadranındaki A noktasını ele alalım (Şekil 2). Bu nokta 10 ile 10 15' doğrulan arasında yer almakta ve 22 Aralık hiperbolüne kadar 5 taksimatlık bir mesafede bulunmaktadır. Eğer yukarıdaki gün farklarından yararlanarak 22 Aralığa 89 x ( 5 / 12 ) = 37 gün ilave edilirse 28 Ocak, ya da 23 Eylül'e 90 x ( 12-5 ) / 12 = 53 gün ilave edilirse 14 Kasım bulunur. Buna göre çubuğun gölgesi 28 Ocak ve 14 Kasım'da ezani saate göre tam saat 10 07' 30" da A noktası üzerine düşer (10 + 1/8 taksimat = 10 + 15' / 2 = 10 07' 30" ).
Bu saat ile gölgenin her bir konumu için güneşin kaçta doğduğu, doğuştan itibaren ne kadar zaman geçtiği ve güneşin batışına kadar ne kadar zamanın kaldığı kolaylıkla belirlenebilir. Çubuk gölgesinin A noktasına düştüğü gün güneş 2 45' da doğmuş (4 rakamının altındaki 5. taksimat), güneş doğduktan sonra (10 07' 30") - (2 45')= 7 22' 30" kadar zaman geçmiş, güneşin batışına 12- (10 07' 30") = 1 52' 30" kadar zaman kalmıştır.
Şekil 1: Öğle, asr'ı evvel ve asr'ı sani zamanlarının bir çubuğun gölgesine göre tanımlanması
Kadranın doğu tarafında eğri bir çizgi vardır. Bu eğri çizgi ikindi namazının kılınacağı zamanı belirlemeye yarayan "asr" eğrisidir. Tanıma göre ikindi namazı (Bkz. Şekil 1) çubuk gölgesinin kendi uzunluğu ile aynı günün öğle vaktindeki en kısa gölge uzunluğu toplamı kadar olduğu vakit başlar (asr'ı evvel), çubuk gölgesinin kendi uzunluğunun iki katı ile aynı günün öğle vaktindeki en kısa gölge uzunluğu kadar olduğu vakit sona erer (asr'ı sani). O halde ezani saat ayarına göre ikindi namazı (asr'ı evvel) 22 Haziranda 8 32', 22 Aralıkta 9 48' ve 21 Mart, 23 Eylülde ise 9 25' de kılınmalıdır. Nihayet gölgenin A noktasına düştüğü tarihte ikindi namazı 9 40'ta (kuzey hiperbolünün altında 5. taksimat) kılınmalıdır.
Şekil 3: Yatay güneş saatinde kartezyen koordinat sisteminin yerleştirilişi.
Kadranda çizilmiş bulunan eğrileri analitik olarak inceleyebilmek için koordinat merkezini çubuğun bulunduğu noktaya, OX eksenini kuzey yönüne, OY eksenini batı yönüne yerleştirelim (Şekil 3). Yükseklik açısı h ve kuzey-güney eksenine göre azimut açısıolan güneşe göre, q boyundaki bir çubuğun gölgesine ait x,y koordinatları
olarak bulunur.
Şekil 4: s-zaman açısının, bulunulan yerinenlemi,deklinasyonu, azimut açısı ve h güneş yüksekliği cinsinden belirlenmesi.
Güneşin hareketini gök küresinde bulunduğumuz yer O'ya göre belirlemeye çalışalım (Şekil 4). Bulunduğumuz yerin enlemi
olduğuna göre, K kuzey kutbu ufka göre İstanbul'da
'lık açı yapmaktadır. S güneşi KOG dünya ekseni etrafında gün boyunca ekvator düzlemine paralel bir düzlemde döner. Ancak dünyanın dönüş ekseni güneş düzlenime göre
kadar eğik olduğundan, güneş 21 Mart ve 23 Eylül günlerinde ekvator düzleminde, 21 Haziranda ekvatora göre
ve 22 Aralıkta
lık bir açıyla dünyayı aydınlatır. Ara değerleri
deklinasyon açısıyla tanımlanır.
Zaman, güneşin KOG etrafında dönüşüne karşı düşen, s zaman açısıyla belirlenebilir. ZKS küresel üçgeninde K açısı s, Z açısı
KZ yayı
KS yayı
, zs
yayıolduğundan, bu üçgene küresel sinüs teoremi uygulanırsa
Amaç s zaman açısını yok etmek olduğuna göre (7)'den cos s çözülür ve (6)'ya uygulanırsa gölgenin gün boyunca izleyeceği hiperbolün analitik ifadesi elde edilir:
Bu eğri
(İstanbul enlemi) ve
için 21 Haziran güney yaz hiperbolünü,
için 22 Aralık kuzey kış hiperbolünü,
çin 21 Mart ve 23 Eylül doğu-batı doğrusunu verir. Bu doğrunun denklemi (8)'den
olarak bulunur.
alıntı
Yatay Güneş Saatleri
Konumu nedeniyle korunmuş bulunan bir yatay güneş saatine örnek olarak Topkapı Sarayı'nın 3. avlusunda III. Ahmet Kütüphanesi'nin yanındaki saat verilebilir (Resim 1).
Resim 1: Topkapı Sarayı 3. avlusundaki III. Ahmet kütüphanesinin yanındaki güneş saati
Bir kaidenin üzerindeki saate bakmak için dört basamaklı mermer bir merdivene tırmanmak gerekir. Saatin doğu tarafında bulunan cetvelin altında "Ameli Süleyman Katib-i evvel", yani Hazinenin birinci katibi Süleyman tarafından yapılmıştır, ibaresi görülmektedir. Saatin batı tarafında ise "Vaz-ül basıta fi zaman-ı Ebül-Feth Sultan Mehmet Han ve ceddede Seyyid Abdullah Silahtar Sultan Selim bin Sultan Mustafa Han ebede mülkehu i lâ âhirüd devran; Sene 1208 Şaban" yazılıdır. Bugünkü dile çevrilirse "Bu güneş saati Fatih Sultan Mehmet devrinde yerleştirilmiş ve Sultan Mustafa'nın oğlu Sultan Selim'in, hükmetme zamanları ahirete kadar uzansın, silahtarı Seyyid Abdullah tarafından yenilenmiştir, sene 1794, Şubat/Mart" ifadesi okunur
Bu kayıtlara göre bu güneş saati Fatih Sultan Mehmet döneminde (1453-1481 yıllarında) hazine katibi Süleyman Bey tarafından çizilmiş ve Sultan III. Selim döneminde Silahtar Seyyid Abdullah tarafından Hicri 1208 senesinde restore edilmiştir. Nitekim Topkapı Sarayı arşivinde Hicri 1208 (1794) senesinden kalan bir masraf belgesine göre, adı geçen güneş saatinin tamiri için, o senenin Mart ayında 1000 kuruş (bir altın) harcama yapıldığı görülmektedir .
Şekil 2: Topkapı sarayında III. Ahmet kütüphanesi yanındaki yatay güneş saatinin üzerindeki çizimler.
Saatin kadranı kuzey-güney doğrultusuna yerleştirilmiştir (Şekil 2). Mermerden yapılmış olan saat kadranının ortasında toplanan yağmur sularının akması için bir delik bulunur. Kadranın 65x44 cm2 'lik kısmında 2 adet güneş saati yer alır. Bu saatlerde zaman, güneydeki 5 cm uzunluğundaki kısa dik çubuğun gölgesi ve kuzeydeki oyma işlemeli çubuğa bağlı, kadranın güneyindeki bir noktaya 4l°'lik eğimle gerilmiş, çelik bir telin gölgesinden yararlanılarak belirlenir.
Bu kadranda bulunan iki saatten ilkin kelebek biçiminde olanını ve ekrana dik bir çubukla ölçüm yapılanını inceleyelim. Düzlemsel saatlere kitabede belirtildiği gibi 'basıta' adı verilir. Bu isim güneş saatlerinde 'basit düzlemsel saat' anlamına gelir. Saatin kuzey ve güneyi birer hiperbolik eğriyle sınırlıdır. Bu eğrilerden kuzeyde bulunanı 22 Aralık kış dönencesi Oğlak burcuna ve güneyde bulunanı 21 Haziran yaz dönencesi Yengeç burcuna aittir. İleride gösterileceği gibi düzlemsel saatlerde bir çubuğun gölgesi genelde gün boyunca bir hiperbol çizer. Sadece senede iki kez gündüz ve gecenin eşit olduğu 21 Mart (Koç burcu) ve 23 Eylül'de (Terazi burcu) bu eğri bir doğruya dönüşür. Bu özel günlerde zaman güneş saatinin ortasında batı-doğu yönünde uzanan doğru üzerinde okunur .
Kelebek biçimindeki bu güneş saati ezani saatleri belirlemeye yarar. Tanım gereği ezani saate göre güneş battığında saat 12 ya da 0'dır. Saatin okunabilmesi için gölgenin ekrana aksetmesi gerekir. Güneş doğar ve batarken gölge sonsuz uzun olduğundan sıhhatli bir belirleme ancak güneş doğduktan 1 saat sonra yapılabilir ve bu durum güneş batmadan 1 saat öncesine kadar sürer. Rakamlar kadranın güney batı ucunda 10 ile başlar sırasıyla batı doğrusunu takip ederek 11,12, 1, 2, 3 ve 4 ile ekranın kuzey-batı ucuna erişir. Bu noktadan itibaren rakamlar kuzeydeki kış hiperbolünü (22 Aralık) takip ederek 5'ten 11 'e kadar sıralanarak kadranın kuzey-doğu ucuna erişir. Güneş ezani saat gereği her gün saat 12'de battığından kadranda her gün güneş batmadan l saat önce okunabilecek son rakam 11 'dir.
Dünya dönüş ekseninin eğikliği nedeniyle güneş mevsime bağlı olarak her gün farklı bir saatte doğar. Ancak gece ve gündüzün eşit olduğu 21 Mart ve 23 Eylül'de ezani saate göre güneş saat 12'de doğar ve batar. Buna göre yaz ve kış dönencesinde çubuğun gölgesi kadranda batı-doğu eksenini izler. Güneş doğduktan 1 saat sonra çubuğun gölgesi eksenin batı ucundaki 1 rakamı üzerine düşer. Saat 2 olduğunda gölgenin nereye düşeceği belirlenmek istenirse, 2 rakamının bulunduğu yerden güney-doğu yönüne uzanan doğru izlenir ve bu doğrunun batı-doğu eksenini kestiği nokta belirlenir. Her saat aralığı dört parçaya ayrılmış bulunduğundan aynı şekilde çeyrek saatlere ait noktalar ve aradaki değerler de iç değer biçimle (enterpolasyonla) kolaylıkla belirlenir. Saat 6 olduğunda benzer şekilde 6 rakamından güneydoğu yönüne doğru uzanan doğru izlenirse bu doğrunun batı-doğu ekseni ile kesiştiği noktadan kuzey-güney ekseninin de geçtiği görülür. Bu durumda öğle olmuş ve çubuğun gölgesi yaz ya da kış dönencesinde en kısa boya erişmiştir. Öğleden sonra çubuğun gölgesi simetrik olarak eksenin doğu yarısını izler ve güneş batmadan 1 saat önce gölge, saatin kuzey-doğu ucundaki 11 rakamının belirlediği ve saatin doğu sınırını oluşturan doğruyla kesiştiği noktaya ulaşır.
Yazın 21 Haziranda çubuğun gölgesi güney hiperbolünü izler. Güneş 9'da doğar ve 1 saat sonra gölge batıdaki 10 rakamı üzerine düşer. Gölgenin en kısa olduğu öğle saatinde saat 4.30 ve batmadan önce saat yine 11 'dir.
Kışın 22 Aralık'ta çubuğun gölgesi kuzey hiperbolünü izler. Bu tarihte güneş 3'te doğduktan 1 saat sonra 4, gölgenin en kısa olduğu öğle saatinde saat 7.30 ve güneş batmadan 1 saat önce saat yine 11 'dir.
21 Mart ilkbahar ve 23 Eylül sonbahar dönence doğrusu, 21 Haziran yaz ve 22 Aralık kış hiperbolleri dışındaki bir noktaya ait saat belirlenirken aynı ezani saatleri birleştiren doğrultuların batı-doğu ekseninin üzerinde ve altında, 12 eşit parçaya bölündüğünü göz önünde bulundurmak gerekir. Buna göre çubuğun gölgesi belirli bir saat için bir sene boyunca saat doğrusunda 12x4=48 taksimatlık devrini tamamlar. Gölge her bir taksimat aralığında yaklaşık olarak 365/48= 7.6 gün ≈ 1 hafta kalır. Eğer daha doğru bir belirleme yapmak istenirse
21 Mart ile 21 Haziran tarihleri arasında 92 gün,
21 Haziran ile 23 Eylül tarihleri arasında 94 gün,
23 Eylül ile 22 Aralık tarihleri arasında 90 gün,
22 Aralık ile 21 Mart tarihleri arasında 89 (88) gün,
bulunduğunu değerlendirmek gerekir
Örnek olarak saat kadranındaki A noktasını ele alalım (Şekil 2). Bu nokta 10 ile 10 15' doğrulan arasında yer almakta ve 22 Aralık hiperbolüne kadar 5 taksimatlık bir mesafede bulunmaktadır. Eğer yukarıdaki gün farklarından yararlanarak 22 Aralığa 89 x ( 5 / 12 ) = 37 gün ilave edilirse 28 Ocak, ya da 23 Eylül'e 90 x ( 12-5 ) / 12 = 53 gün ilave edilirse 14 Kasım bulunur. Buna göre çubuğun gölgesi 28 Ocak ve 14 Kasım'da ezani saate göre tam saat 10 07' 30" da A noktası üzerine düşer (10 + 1/8 taksimat = 10 + 15' / 2 = 10 07' 30" ).
Bu saat ile gölgenin her bir konumu için güneşin kaçta doğduğu, doğuştan itibaren ne kadar zaman geçtiği ve güneşin batışına kadar ne kadar zamanın kaldığı kolaylıkla belirlenebilir. Çubuk gölgesinin A noktasına düştüğü gün güneş 2 45' da doğmuş (4 rakamının altındaki 5. taksimat), güneş doğduktan sonra (10 07' 30") - (2 45')= 7 22' 30" kadar zaman geçmiş, güneşin batışına 12- (10 07' 30") = 1 52' 30" kadar zaman kalmıştır.
Şekil 1: Öğle, asr'ı evvel ve asr'ı sani zamanlarının bir çubuğun gölgesine göre tanımlanması
Kadranın doğu tarafında eğri bir çizgi vardır. Bu eğri çizgi ikindi namazının kılınacağı zamanı belirlemeye yarayan "asr" eğrisidir. Tanıma göre ikindi namazı (Bkz. Şekil 1) çubuk gölgesinin kendi uzunluğu ile aynı günün öğle vaktindeki en kısa gölge uzunluğu toplamı kadar olduğu vakit başlar (asr'ı evvel), çubuk gölgesinin kendi uzunluğunun iki katı ile aynı günün öğle vaktindeki en kısa gölge uzunluğu kadar olduğu vakit sona erer (asr'ı sani). O halde ezani saat ayarına göre ikindi namazı (asr'ı evvel) 22 Haziranda 8 32', 22 Aralıkta 9 48' ve 21 Mart, 23 Eylülde ise 9 25' de kılınmalıdır. Nihayet gölgenin A noktasına düştüğü tarihte ikindi namazı 9 40'ta (kuzey hiperbolünün altında 5. taksimat) kılınmalıdır.
Şekil 3: Yatay güneş saatinde kartezyen koordinat sisteminin yerleştirilişi.
Kadranda çizilmiş bulunan eğrileri analitik olarak inceleyebilmek için koordinat merkezini çubuğun bulunduğu noktaya, OX eksenini kuzey yönüne, OY eksenini batı yönüne yerleştirelim (Şekil 3). Yükseklik açısı h ve kuzey-güney eksenine göre azimut açısıolan güneşe göre, q boyundaki bir çubuğun gölgesine ait x,y koordinatları
Şekil 4: s-zaman açısının, bulunulan yerinenlemi,deklinasyonu, azimut açısı ve h güneş yüksekliği cinsinden belirlenmesi.
Güneşin hareketini gök küresinde bulunduğumuz yer O'ya göre belirlemeye çalışalım (Şekil 4). Bulunduğumuz yerin enlemi
Zaman, güneşin KOG etrafında dönüşüne karşı düşen, s zaman açısıyla belirlenebilir. ZKS küresel üçgeninde K açısı s, Z açısı
kosinüs teoremi uygulanırsa
ve nihayet kotanjant teoremi uygulanırsa, ilişkileri elde edilir.
Eğer (2) ilişkisindeki h ve a açıları (3) ve (4) yardımıyla yok edilirse
(5) ile birlikte,
bağıntıları bulunur.
Amaç s zaman açısını yok etmek olduğuna göre (7)'den cos s çözülür ve (6)'ya uygulanırsa gölgenin gün boyunca izleyeceği hiperbolün analitik ifadesi elde edilir:
Bu eğri
alıntı
